En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Examen
Solución
Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
jueves, 25 de febrero de 2016
viernes, 19 de febrero de 2016
Sumemos infinitos números
Ya os he comentado alguna vez que el infinito es un concepto que trajo (y sigue trayendo) de cabeza a los matemáticos. Vamos a darle una vuelta de tuerca a lo que sabemos. ¡Concentraos!
¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre!
¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Mis pequeños saltamontes, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.
Os voy a hacer una pregunta, ¿sabríais sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:
 |
| ¿Cuántos números dices que hay que sumar? |
Y no, no pretendo burlarme con la foto, que nuestros "primos" son unos genios con los números (¡si alguno sois capaz de igualar al del vídeo me avisáis!):
Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:
Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:
Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:
Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea" puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!
¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)
Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:
Dicen que una imagen vale más que mil palabras:
 |
| Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png |
Reto XIII: Reto de la Suma Infinita (3 puntos).
¿Cuánto vale la siguiente suma? (Contestad antes de fin de mes).
Pista: ¡No os pongáis a hacer pedacitos ningún folio! Pasad las fracciones a decimales y sumad.
domingo, 14 de febrero de 2016
Lady Gaga
El otro día os dije de los matemáticos:
"La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. (...) la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción, no la regla".
Pero claro, sólo los raritos salen en los periódicos (éste al menos está casado y tiene dos hijos):
“Es que las matemáticas son la poesía de la ciencia...".
“Las matemáticas no son sólo números. Son lógica y verdad. Tratan sobre cómo ordenar el mundo, entenderlo y profundizar por medio de los sentimientos. Además de ser, claro, el máximo impulsor de los avances tecnológicos”.
“A los niños hay que explicarles que ellos están utilizando las matemáticas por medio de la tecnología. Los ordenadores, los mapas de Internet o las búsquedas de Google. Todo eso son matemáticas; las ecuaciones lo explican. Son instrumentos que estamos utilizando todo el tiempo. Eso les va a motivar definitivamente”.
Ah, aprovecho la ocasión: ¡Feliz San Valentín! de parte de mis enamorados Lobezna y Godifón.
"La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. (...) la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción, no la regla".
Pero claro, sólo los raritos salen en los periódicos (éste al menos está casado y tiene dos hijos):
“Es que las matemáticas son la poesía de la ciencia...".
“Las matemáticas no son sólo números. Son lógica y verdad. Tratan sobre cómo ordenar el mundo, entenderlo y profundizar por medio de los sentimientos. Además de ser, claro, el máximo impulsor de los avances tecnológicos”.
“A los niños hay que explicarles que ellos están utilizando las matemáticas por medio de la tecnología. Los ordenadores, los mapas de Internet o las búsquedas de Google. Todo eso son matemáticas; las ecuaciones lo explican. Son instrumentos que estamos utilizando todo el tiempo. Eso les va a motivar definitivamente”.
Ah, aprovecho la ocasión: ¡Feliz San Valentín! de parte de mis enamorados Lobezna y Godifón.
viernes, 12 de febrero de 2016
El "mundillo matemático"
En primer lugar hay que decir que si en la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos), en la actualidad no existen las matemáticas sino: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.
¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.
Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:
- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:
- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.
¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:
¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.
Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:
- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:
Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que
las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.
- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.
¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:
domingo, 7 de febrero de 2016
Reto del Concurso de Primavera
 |
| Springtime is coming! |
¿Quiénes podéis participar? Todos aquellos que habéis sacado 7 o más en matemáticas en la primera evaluación.
¿Qué tenéis que hacer? 1) Decírmelo a mí. 2) Presentaros al examen clasificatorio. 3) Hacer muy bien ese examen.
¿Y después? Los que paséis el examen clasificatorio accederéis a la la Fase Final del concurso que se celebrará el sábado día 23 de abril de 2016 a las 12:00 de la mañana en las aulas del Complejo Científico Tecnológico de la Universidad de La Rioja.
¿Quiénes competís? Hay varios niveles. En el vuestro competiréis con todos los alumnos de 1º y de 2º de ESO de La Rioja.
¿Y cómo son las pruebas? Os enseño un examen (es el de la Primera Fase del Concurso de Primavera de Madrid del año pasado).
¿Merece la pena que os apuntéis? Es sobre todo una actividad recreativa para los que disfrutéis con las matemáticas y os queráis retar a vosotros mismos a ir un poquito más allá de lo que vemos en clase.
¿Cómo podéis prepararos? Enfrentándoos al examen anterior que os he enlazado. Y si algunos os clasificáis para la Fase Final y os apetece, podríamos entrenar y organizar alguna cosilla en horario extraescolar.
Y para que vayáis abriendo boca:
Reto XII: Reto del Concurso de Primavera (15 puntos).
Elegid y resolved cinco ejercicios (uno entre el 1 y el 5, otro entre el 6 y el 10, otro entre el 11 y el 15, otro entre el 15 y el 20 y otro entre el 20 y el 25) del examen del Concurso de Primavera de Madrid del año pasado. Las soluciones me la entregáis en un folio antes de que termine este mes.
jueves, 4 de febrero de 2016
Examen de problemas (Temas 5 y 6)
miércoles, 3 de febrero de 2016
Campeonatos de matemáticas
Si hay de mus y de paellas, ¿cómo no va a haber campeonatos de matemáticas?
El más importante es la Olimpiada Internacional de Matemáticas para estudiantes de bachillerato, que es la más antigua de las Olimpiadas Internacionales de Ciencias (es anual: la primera se celebró en Rumania en 1959 y la de este año será en China). Participan cerca de 100 países de todo el mundo que envían equipos de un máximo de 6 estudiantes.
Antes de la internacional se celebran distintas fases clasificatorias regionales. Hace poco tuvo lugar la riojana y ganó Ce Xu Zheng, alumno del Tomás Mingot.
¿Y para alumnos de secundaria no hay campeonatos? Sí, y creo que algunos ya habéis participado. La Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas (Aprima) organiza, junto con la Consejería de Educación y el Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja, el XVIII Concurso de Primavera de Matemáticas.
martes, 2 de febrero de 2016
Hipaso de Metaponto
Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Esencialmente la idea es el juego de palitos que os he contado esta mañana (¡tomo nota de que no os ha gustado y de que preferís las tartas y las pizzas!).
En estas estaban cuando uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?
Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¿a que no os acordáis de lo que decía?), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. Faltan por lo menos un par de años para que podáis entender cómo lo hizo (para los curiosos: es la primera de las dos demostraciones a las que lleva el siguiente enlace):
Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.
En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.
Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:
¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.
¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con superordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Os paso un enlace a una página web de la NASA en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2.
¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.
Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.
Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:
0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?
0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?
Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y quien quiera entender esto tendrá que ir a la Universidad a estudiar matemáticas... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!
En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.
Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:
¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.
¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con superordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Os paso un enlace a una página web de la NASA en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2.
¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.
¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.
Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.
Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:
0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?
0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?
Suscribirse a:
Entradas
(
Atom
)