Sumemos infinitos números

Ya os he comentado alguna vez que el infinito es un concepto que trajo (y sigue trayendo) de cabeza a los matemáticos. Vamos a darle una vuelta de tuerca a lo que sabemos. ¡Concentraos!

Vosotros sabéis sumar números enteros (2+3=5), decimales (2'23+3'9=6'13), y también sabéis sumar (o eso espero) fracciones:

¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre!

¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Mis pequeños saltamontes, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.

Os voy a hacer una pregunta, ¿sabríais sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:

¿Cuántos números dices que hay que sumar?

Y no, no pretendo burlarme con la foto, que nuestros "primos" son unos genios con los números (¡si alguno sois capaz de igualar al del vídeo me avisáis!):

Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:

Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:

Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:

Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea" puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!

¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)

Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:

Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png

Reto XIII: Reto de la Suma Infinita (3 puntos).

¿Cuánto vale la siguiente suma? (Contestad antes de fin de mes).

Pista: ¡No os pongáis a hacer pedacitos ningún folio! Pasad las fracciones a decimales y sumad.