Cifras decimales de PI (segunda parte)

¿Cuántas cifras decimales tiene p? Aunque se intuía desde el principio, hubo que esperar al siglo XVIII para demostrar que p es un número irracional. Tiene pues infinitos decimales, no se repiten de forma periódica y, en este caso, no siguen ningún patrón: si queremos conocerlos no nos queda otra que calcularlos.

¿Sirve para algo calcular muchos decimales de p? Absolutamente para nada. A cualquier ingeniero o científico que trabaje en el mundo real le vale con saber unos pocos. (Hay una cuentecita que tenemos a tiro -no la quiero hacer ahora- para ver que con 39 decimales podríamos calcular el tamaño de todo el Universo conocido con una precisión de un átomo de hidrógeno).

¿Para qué se calculan entonces? Como os dije cuando hablamos de raiz de 2, se trata de una especie de competición deportiva, al principio entre matemáticos, a la que en los últimos años se han unido informáticos con sus superordenadores. No todo es tan inútil como parece: algunas herramientas estudiadas para calcular las cifras decimales de p han tenido importantes aplicaciones prácticas.

¿Cómo se calculan los decimales de p? Como vimos en la anterior entrada, la primera técnica empleada fue la de aproximar el área de la circunferencia con polígonos regulares tal y como había hecho Arquímedes.

En el siglo XVII se produjo en el mundo un gran desarrollo matemático (que permitió a su vez el progreso científico y económico de la época). Una de las cosas que más se estudiaron entonces fueron las sumas infinitas (¿os acordáis?). Os refresco la memoria: son sumas de números de manera que cuantos más sumamos más nos vamos acercando a un valor (a la suma). Los dos ejemplitos que ya conocemos son:

Pues p apareció (a veces por sorpresa) como resultado de muchas de esas sumas infinitas, por ejemplo la suma de Leibniz:

¿Cómo podemos aprovechar la anterior suma infinita para conseguir cifras decimales de p? Muy sencillo: cuantos más números sumemos más nos acercaremos a su verdadero valor.

y ya todo es cuestión de tener mucha paciencia... y mucho tiempo libre, porque haría falta sumar no cinco, sino cinco millones de números de la suma de Leibniz para conseguir seis cifras decimales exactas (3'141592) de p.

Reto XVII: Reto II de p (5 puntos): Utiliza la siguiente suma infinita (¡puedes utilizar la calculadora!):

para conseguir cinco aproximaciones de p (empieza sólo con el 3 y ve sumando un término más cada vez como acabamos de hacer arriba) y compara los resultados obtenidos con los proporcionados por la suma de Leibniz. ¿Cuál es la conclusión de la comparación? Tenéis de tiempo hasta el domingo 3 de marzo.

Cifras decimales de PI (primera parte)

¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:

(bip), (bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...

Cuando agotéis ese tema de conversación (con 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:

que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,

y seguramente, en ese mismo momento él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p.

Nota: Esta introducción un poco marciana es porque hace poco leí una entrevista de un científico que ha participado en proyectos que intentan comunicarnos con otras civilizaciones (el asunto es serio, ¡no tiene nada que ver con quinto milenio!).

Enlace a la entrevista

p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:

Reto XVI: Reto I de p (1 punto): Cuando esta tercera evaluación veamos en clase el teorema de Pitágoras, calcularemos que el  área del anterior cuadrado inscrito vale 2. ¿Sabrías calcular el área del cuadrado circunscrito y utilizar ambos resultados para decir entre qué dos valores está p? Tenéis de tiempo hasta el domingo 3 de marzo.

Naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:

Pentágono, hexágono y octógono.

Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:

que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.

Terminamos en modo preguntas y respuestas:

¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.

¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente lo intentaría con 192 lados pero se moriría antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más y más pesadas.

¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados, ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p) y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:

 3'14159265358979323846264338327950288

¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!

¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.

Números imaginarios

Como Paula, Daniel y Marcos habéis respondido, la ecuación

no tiene ninguna solución, porque cuando elevamos un número al cuadrado, siempre obtenemos un número positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad y así se tiraron unos cuantos siglos, diciendo que había muchas ecuaciones (la de arriba y otras del estilo) que no tenían solución. Pero entonces hubo algunos que se plantearon, "vale, no tiene soluciones si sólo utilizamos los números que conocemos, ¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería solución de la ecuación:

es decir, i cumple que:

A este nuevo número que se inventaron le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (¿os acordáis de él?) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces pasa en matemáticas, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (os lo contarán en el futuro: dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

Y esta es más o menos la biografía del quinto de nuestros dioses de los números. 0, 1 y p ya los conocéis. Al número e os lo presentarán en 4º curso. i os llegará en el bachillerato de ciencias.

Estas vacaciones voy a contaros alguna historia del que es mi preferido, mi JuPIter. El plan es hacerlo en tres entradas (¡sí, caerá algún pequeño reto en el camino!):

1) Cifras decimales de p (primera parte).

2) Cifras decimales de p (segunda parte).

3) La cuadratura del círculo.

¡Que seáis muy felices estas vacaciones! (en la realidad y en vuestra imaginación... porque espero que nos haya quedado claro a todos que la imaginación también forma parte de la realidad).

Ah, recordad que tenemos un reto en marcha:

Enlace al Reto del equipo de fútbol

(P.D.) Casualmente me acaba de llegar este tuit (a los números imaginarios también se les dice números complejos):

Premios para compañeros vuestros

No sé cuántas mates os vamos a enseñar en este instituto, pero vais a salir de él hechos unos verdaderos filósofos:

El Olimpo de los números

Ya sabéis que los ingleses son gente un poco rara que conduce por la izquierda, mide la distancia en millas y la altura en pies, y en las fechas, dice primero el mes y luego el día. Y ya si los juntamos con sus primos los yanquis, a los que les gusta más celebrar cosas que a algunos de vosotros salir a la pizarra, tenemos que el 14 de marzo, el 14-3 para nosotros y el 3-14 para ellos, es "oficialmente" el Día de p = 3,14159265...

Pero, ¿quién demonios es p para merecer semejante atención? Pues como os voy a intentar contar en una serie de entradas estas vacaciones, p es uno de los dioses de los números, acompañado en el Olimpo por e, i, 0 y 1, aunque la mejor forma de escribirlos juntos sea con la famosa identidad de Euler:

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia.

p ¿Cómo apareció en las matemáticas el que va a ser nuestro protagonista? Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 1, su área es 1. Si tenemos una circunferencia de radio 1... su área es p.

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios... aunque todavía no le podéis pillar la gracia...

i ¿Os acordáis?

Bueno, pues os pregunto ahora algo parecido y cuando mandéis las soluciones os cuento quién es el número i.

Reto XV: Reto de la ecuación de segundo grado (2 puntos): Encuentra los números que cumplen que:

Tenéis de tiempo hasta que llegue la primavera (vamos, hasta el 3-21, digo hasta el 21-3... el lunes).

Reto del equipo de fútbol

Ya se acercan las vacaciones de Semana Santa y voy a lanzaros otro reto "potente" con premio especial. Entre los que lo resolváis sortearemos, proporcionalmente a los puntos que tengáis acumulados en la clasificación de los retos, (¡esta vez sin papelitos!), un ejemplar del libro "Hasta el infinito y más allá" y un pequeño juego de damas y ajedrez magnético.

Os pongo en antecedentes:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

Uno de los problemas básicos de la Teoría de juegos es determinar si para un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Un par de ejemplos famosos son (costó mucho trabajo demostrarlo):

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.

- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

Reto XIV: Reto del equipo de fútbol (20 puntos)

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:

Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:

Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (48 goles en total) son peores que los del rival (50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:

y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla, una simple frase que en versión corta se puede escribir en menos de 150 caracteres.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,

en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla. Tenéis de plazo hasta el 6 de abril.

Por cierto, aprovechando que hablamos de fútbol. Algunos de vosotros comprobasteis en un recreo de hace un par de semanas que vuestro profesor de matemáticas es un maestro del baloncesto, una especie de Pau Gasol. Pues no sólo eso...

¿Sabéis que edad tenía yo en esa foto? Exactamente la que vosotros tenéis ahora. Y por esa época me recuerdo en clase llorando escandalosamente (lo de algunos de vosotros al lado de aquello son gimoteillos) después de haber hecho mal un examen de matemáticas. De verdad, mis pequeños saltamontes, de verdad, no ser capaz de enseñaros suficientes matemáticas es un fracaso mío como profesor que tendremos que solucionar, vosotros y yo, esforzándonos más. Pero si no consigo transmitiros que LLORAR A VUESTRA EDAD POR UN EXAMEN DE MATEMÁTICAS ES UNA ESTUPIDEZ, estaré cometiendo un crimen.

¡Al próximo que me llore o pase un mal rato le pongo un parte!

Examen Global de la 2ª evaluación

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.