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miércoles, 20 de abril de 2016
Noticias del día
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sábado, 16 de abril de 2016
La cuadratura del círculo
He estado pensando cómo intentar explicaros este famosísimo problema pero, ni he encontrado una forma sencilla de hacerlo por escrito, ni he localizado ningún vídeo interesante (si os encontráis por la calle con Eduardo pedidle que haga un vídeo de “la cuadratura del círculo”), así que simplemente os voy a contar la historia sin entrar en muchos detalles.
Los matemáticos de la antigua Grecia se inventaron el “juego de la regla y el compás” en el que siguiendo unas determinadas normas, había que construir figuras geométricas, dividir segmentos o ángulos en varias partes iguales, etc.
He hablado con vuestros profesores de plástica y sé que algunas cosas habéis estado haciendo, por ejemplo, creo que sabéis dibujar la mediatriz de un segmento:
Los matemáticos de la antigua Grecia se inventaron el “juego de la regla y el compás” en el que siguiendo unas determinadas normas, había que construir figuras geométricas, dividir segmentos o ángulos en varias partes iguales, etc.
He hablado con vuestros profesores de plástica y sé que algunas cosas habéis estado haciendo, por ejemplo, creo que sabéis dibujar la mediatriz de un segmento:
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| Imágenes obtenidas aquí |
En realidad lo que hacéis al dibujar la mediatriz de un segmento es jugar a una modalidad del "juego de la regla y el compás" que encantaba a los griegos: construir números. La idea es sencilla: nos dan un segmento de longitud 1 (supongamos decímetro, aunque da igual lo que sea), y tenemos que intentar construir segmentos que midan exactamente el número que nos pidan. Con la mediatriz hemos conseguido construir el número:
Los griegos se pusieron a jugar a este juego y lograron construir un montón de números... hasta que llegaron a nuestro querido p.
El problema es: partiendo de un palito de longitud 1, ¿podemos construir con una regla y un compás (siguiendo ciertas reglas) un palito que tenga longitud p?
En realidad este problema se puede plantear de otra manera más glamurosa que es la que le da el nombre: dado un círculo de radio 1, ¿podemos construir con regla y compás un cuadrado que tenga su misma área?
En 1882, más de 2000 años después de que hubiera sido planteado, tras haber resistido a los mejores matemáticos del mundo durante dos milenios, el problema fue derrotado: Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Lindemann para los amigos) se ganó la inmortalidad demostrando que NO, que LA CUADRATURA DEL CÍRCULO ES IMPOSIBLE (y por eso, igual ya lo habéis oído alguna vez, es por lo que se emplea el dicho, "eso es la cuadratura del círculo", para referirse a algo que es imposible de hacer).
Por cierto, id sacando los pañuelos de papel, porque no me cabe ninguna duda de que con lo que ahora mismo os voy a decir vuestros ojos se van a inundar de lágrimas de emoción sincera: ¿sabéis cómo consiguió resolver Lindemann el problema de la cuadratura del círculo? Con ecuaciones. Y ahora viene lo mejor, ¿sabéis qué tipo de ecuaciones? ¡Ecuaciones con polinomios!
Así que ya sabéis, ¡al ataque! ¡a por los polinomios!
El problema es: partiendo de un palito de longitud 1, ¿podemos construir con una regla y un compás (siguiendo ciertas reglas) un palito que tenga longitud p?
En realidad este problema se puede plantear de otra manera más glamurosa que es la que le da el nombre: dado un círculo de radio 1, ¿podemos construir con regla y compás un cuadrado que tenga su misma área?
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| ¿Podemos conseguir la cuadratura del círculo? |
En 1882, más de 2000 años después de que hubiera sido planteado, tras haber resistido a los mejores matemáticos del mundo durante dos milenios, el problema fue derrotado: Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Lindemann para los amigos) se ganó la inmortalidad demostrando que NO, que LA CUADRATURA DEL CÍRCULO ES IMPOSIBLE (y por eso, igual ya lo habéis oído alguna vez, es por lo que se emplea el dicho, "eso es la cuadratura del círculo", para referirse a algo que es imposible de hacer).
Por cierto, id sacando los pañuelos de papel, porque no me cabe ninguna duda de que con lo que ahora mismo os voy a decir vuestros ojos se van a inundar de lágrimas de emoción sincera: ¿sabéis cómo consiguió resolver Lindemann el problema de la cuadratura del círculo? Con ecuaciones. Y ahora viene lo mejor, ¿sabéis qué tipo de ecuaciones? ¡Ecuaciones con polinomios!
Así que ya sabéis, ¡al ataque! ¡a por los polinomios!
jueves, 14 de abril de 2016
Examen del Tema 9
La tecla Ran# de la calculadora
Decimos que estamos ante una situación aleatoria cuando:
1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.
2) Conocemos cuáles son las opciones.
3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se conoce como probabilidad).
¿Un ejemplo? Tenemos que sortear el libro del Reto del equipo de fútbol:
1) No sabemos exactamente quién se lo va a llevar.
2) Sabemos que ganará Paula, Samuel o Daniel.
3) Paula tiene 88 puntos, Samuel 99 y Daniel 103 (la suma total es 290). Entonces las probabilidades de ganar de cada uno son:
Probabilidad(gane Paula)= 88/290 = 0'3034 (Paula tiene aproximadamente un 30% de posibilidades de ganar).
Probabilidad(gane Samuel)= 99/290 = 0'3414 (Samuel tiene aproximadamente un 34% de posibilidades de ganar).
Probabilidad(gane Daniel) = 103/290 = 0'3552 (Daniel tiene aproximadamente un 36% de posibilidades de ganar).
(Fijaos que las tres probabilidades suman 1 o, lo que es lo mismo, que los tres porcentajes suman el 100%).
Esta vez no vamos a utilizar papelitos sino que vamos a aprovechar la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Hay mejores formas de hacer el sorteo pero la más sencilla de entender es:
- si sale un número entre el 0'000 y el 0'087 (ambos incluidos; fijaos que son 88 números), ganará Paula,
- si sale un número entre el 0'088 y el 0'186 (ambos incluidos; fijaos que son 99 números), ganará Samuel,
- si sale un número entre el 0'187 y el 0'289 (ambos incluidos; fijaos que son 103 números), ganará Daniel,
- si sale un número entre 0'290 y 0'999 le pediremos a la calculadora otro número (así hasta que alguien gane).
Luego, entre los dos perdedores sortearemos de igual manera el juego de ajedrez.
Un detalle importante: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos tirando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!
lunes, 11 de abril de 2016
Examen de Recuperación de la 2ª evaluación
sábado, 9 de abril de 2016
jueves, 7 de abril de 2016
Solución al Reto del equipo de fútbol
Los ganadores han sido Paula, Daniel y Samuel. La semana que viene sortearemos entre los tres los dos premios. Lo haremos en clase porque quiero aprovechar para explicaros a todos la función Ran# de la calculadora.
Como Marcos ha estado peleando como un valiente hasta el final (¡hasta enfermo lo ha seguido intentando!), quiero darle a él y a los demás la oportunidad de, ¡por orgullo!, llegar a la solución antes de ver cuál es.
Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador):
SITUACIÓN 1
¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?
Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con gracia, haced clic en el siguiente enlace:
Como Marcos ha estado peleando como un valiente hasta el final (¡hasta enfermo lo ha seguido intentando!), quiero darle a él y a los demás la oportunidad de, ¡por orgullo!, llegar a la solución antes de ver cuál es.
Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador):
SITUACIÓN 1
SITUACIÓN 2
Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con gracia, haced clic en el siguiente enlace:
lunes, 4 de abril de 2016
Cifras decimales de PI (tercera y última parte)
En la siguiente tabla podéis ver (en amarillo) la respuesta al reto anterior ("yo" he seguido sumando hasta los 30000 números; por cierto, la que os puse en el reto se llama suma de Nilakantha).
Vemos que hay una clara diferencia entre las dos sumas. Cierto que las dos se van acercando más al valor de p cuantos más números sumamos, pero:
- al sumar 5 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 2'8952 y 3'3397; con la de Nilakantha, que está entre 3'1397 y 3'1452,
- al sumar 13 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'0584 y 3'2184; con la de Nilakantha, que está entre 3'1415 y 3'1417,
- al sumar 5000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'1414 y 3'1418, es decir, tenemos 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha ya tenemos 3’1415926535, 10 cifras exactas de p,
- al sumar 30000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'14156 y 3'14163, es decir, seguimos teniendo sólo 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha llegamos hasta 3’141592653589, 12 cifras exactas de p.
Y ahí precisamente están las dos claves que marcaron (y siguen marcando) la carrera por conseguir cifras decimales de p:
1) Hay que intentar utilizar sumas que se acerquen lo más rápido posible al verdadero valor de p. Por ejemplo, nosotros acabamos de ver que la suma de Nilakantha es "mucho más rápida" que la suma de Leibniz.
2) Me ha costado unos dos minutos escribir en mi ordenador las fórmulas de las sumas de Leibniz y de Nilakantha, y mi ordenador habrá tardado, ¿una décima de segundo en hacer las cuentas? Seguramente mucho menos.
Vamos a ver algunos momentos importantes en la "Carrera de p":
- la mente más destacada en la historia de la Humanidad, Isaac Newton, dijo: "La naturaleza se reduce a un número: p. Quien descubra el misterio de p, comprenderá el pensamiento de Dios", y tal vez por eso pasó unas cuantas tardes haciendo cuentas para calcular 15 decimales exactos... para lamentarse a continuación por haber perdido el tiempo haciendo cuentecitas inútiles.
- el aficionado a las matemáticas William Shanks dedicó casi 20 años de su vida a hacer cuentas para calcular 707 cifras decimales exactas de p... o eso creía: 70 años después, en 1944, usando una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas hasta la 527.
- una figura especial en el cálculo de las cifras de p fue el portento indio Srinivasa Ramanujan, que descubrió sumas de números que se acercaban muy rápido (mucho más que la de Nilakantha) al valor de p. Os dejo una de sus genialidades (a ver si sois capaces de hacer bien la cuenta -con calculadora, claro-):
- con la llegada de los ordenadores la carrera quedó en manos de los informáticos. El récord actual está en algo más de 13 billones de cifras. Escritas seguidas en el tamaño que estáis leyendo darían más de 60 vueltas a la Tierra.
Dos cositas para terminar:
- sí, es una gran pérdida de tiempo y de electricidad tener un ordenador potente encendido 208 días para hacer algo que no sirve para nada (así se batió el último récord). Afortunadamente los ordenadores se emplean casi siempre para cosas mucho más importantes. Os enlazo un vídeo que merece la pena:
- p también inspira a los "poetas":
¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p.
El valor real es p = 3’1415926535897932384...
Vemos que hay una clara diferencia entre las dos sumas. Cierto que las dos se van acercando más al valor de p cuantos más números sumamos, pero:
- al sumar 5 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 2'8952 y 3'3397; con la de Nilakantha, que está entre 3'1397 y 3'1452,
- al sumar 13 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'0584 y 3'2184; con la de Nilakantha, que está entre 3'1415 y 3'1417,
- al sumar 5000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'1414 y 3'1418, es decir, tenemos 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha ya tenemos 3’1415926535, 10 cifras exactas de p,
- al sumar 30000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'14156 y 3'14163, es decir, seguimos teniendo sólo 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha llegamos hasta 3’141592653589, 12 cifras exactas de p.
Y ahí precisamente están las dos claves que marcaron (y siguen marcando) la carrera por conseguir cifras decimales de p:
1) Hay que intentar utilizar sumas que se acerquen lo más rápido posible al verdadero valor de p. Por ejemplo, nosotros acabamos de ver que la suma de Nilakantha es "mucho más rápida" que la suma de Leibniz.
2) Me ha costado unos dos minutos escribir en mi ordenador las fórmulas de las sumas de Leibniz y de Nilakantha, y mi ordenador habrá tardado, ¿una décima de segundo en hacer las cuentas? Seguramente mucho menos.
Vamos a ver algunos momentos importantes en la "Carrera de p":
- la mente más destacada en la historia de la Humanidad, Isaac Newton, dijo: "La naturaleza se reduce a un número: p. Quien descubra el misterio de p, comprenderá el pensamiento de Dios", y tal vez por eso pasó unas cuantas tardes haciendo cuentas para calcular 15 decimales exactos... para lamentarse a continuación por haber perdido el tiempo haciendo cuentecitas inútiles.
- el aficionado a las matemáticas William Shanks dedicó casi 20 años de su vida a hacer cuentas para calcular 707 cifras decimales exactas de p... o eso creía: 70 años después, en 1944, usando una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas hasta la 527.
- una figura especial en el cálculo de las cifras de p fue el portento indio Srinivasa Ramanujan, que descubrió sumas de números que se acercaban muy rápido (mucho más que la de Nilakantha) al valor de p. Os dejo una de sus genialidades (a ver si sois capaces de hacer bien la cuenta -con calculadora, claro-):
Dos cositas para terminar:
- sí, es una gran pérdida de tiempo y de electricidad tener un ordenador potente encendido 208 días para hacer algo que no sirve para nada (así se batió el último récord). Afortunadamente los ordenadores se emplean casi siempre para cosas mucho más importantes. Os enlazo un vídeo que merece la pena:
- p también inspira a los "poetas":
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.
¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p.
Reto XVIII: Reto III de p (5 puntos): Como en el ejemplo anterior, tenéis que escribir un poema o un cuento con palabras cuyo número de letras vayan siendo las cifras de p. Ha de estar dedicado a Tom y Jerry y, por supuesto, ha de tener sentido, no vale ir poniendo palabras al tuntún. El que más lejos llegue se llevará 5 puntos. Tenéis de tiempo hasta el lunes 11 de abril.
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