El euro perdido

(La historia es inventada).

Esta mañana de Black Friday, Erik nos ha dicho a Idoia y a mí que se quería comprar un libro que costaba 7 euros. Como nos ha prometido estudiar mucho a cambio, le hemos prestado 5 euros cada uno. Ha ido a la librería, ha comprado el libro y le han devuelto 3 monedas de euro.”Tomad 1 euro cada uno –nos ha dicho a Idoia y a mí- y yo me quedo el otro. Os dejo a deber 4 euros a cada uno”.

Todo correcto... pero vamos a hacer cuentas: Idoia y yo le hemos prestado a Erik 5 euros cada uno (es decir, un total de 10 euros), y nos ha devuelto 1 euro a cada uno, luego:

4 euros que me debe a mí + 4 euros que le debe a Idoia + 1 euro que se ha quedado él = 

=¡¡9 euros!!

¿Se puede saber dónde está el euro que falta? A ver si alguno nos sabe explicar a los demás dónde está el engaño del trilero.

Codificador/descodificador de mensajes

Si descomponemos 3553 (con ayuda de una calculadora: hay que probar a dividir por 2, 3, 5, 7... A ver si alguno me decís en los comentarios cuál es el último número con el que habría que haberlo intentado), enseguida llegamos a que:

3553=11x17x19

Nota: de que era divisible por 11 podríamos habernos dado cuenta con el criterio que hemos estudiado en clase.

De esta manera el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 19 lugares a la derecha, es decir:

y ya sólo nos queda hacer la descodificación, una tarea pesada de esas en las que los ordenadores son los mejores amigos del hombre:

En el siguiente enlace tenéis un programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona en línea). Creo que no debería dar problemas por estar hecho con una versión antigua de Excel. Ya me diréis.

Codificador/descodificador de César

Solución del examen del Tema 3

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución.

Lo que sigue lo voy a poner siempre como "instrucciones de uso": es una buena idea que descarguéis el examen, volváis a hacerlo sin nervios ni presión del reloj, y luego reviséis la solución. Naturalmente, cualquier cosa que no tengáis clara podéis (debéis) consultármela en clase.

Examen

Solución

El reto del pequeño saltamontes

No tengo claro si el premio es más una útil calculadora o una pieza de museo, pero sí sé que su futuro es quedarse para siempre en mi trastero o, y me hace ilusión, vivir una nueva vida en un par de vuestras inquietas manos.

Aprovecho para comentaros que este año la utilizaremos muy poco (¡eso ya deberíais tenerlo claro!), pero no estaría mal que os fueseis familiarizando con el uso de una calculadora científica. ¿Cuál? Pues los que no tengáis ninguna y no ganéis el reto, podéis pedir a los Reyes una barata como ésta (os he puesto el enlace de Amazon, pero la podéis comprar por parecido precio en cualquier librería). Sí, las hay mejores (y más caras) pero no merecen para nada la pena.

Las normas del reto son las siguientes:

1) El plazo termina el próximo 31 de diciembre (año nuevo, retos nuevos). Ahora simplemente leedlo por encima (me viene bien porque en clase vamos a empezar a estudiar los números enteros) y dejadlo de lado hasta las vacaciones, ¡que estamos en pleno periodo de exámenes!

2) El ganador será elegido por sorteo entre todos los que acertéis la respuesta (ya hablaremos del procedimiento). Cada uno de los candidatos contará con tantas posibilidades como puntos lleve acumulados en la clasificación el día del sorteo.

Reto VIII (15 puntos): El reto del pequeño saltamontes 

(Cuando vayáis a resolverlo, sentaos, poneos cómodos, coged lápiz y papel y... ¡vigilad que no os salga mucho humo de la cabeza!).

Supongamos que Flip, un pequeño saltamontes, puede saltar hacia delante y hacia atrás, que empieza dando un salto de longitud un metro, y luego, cada vez que salta, lo hace un metro más lejos que en el salto anterior. Es decir: 

Primer salto: salta 1 metro (si es hacia delante escribimos 1, si es hacia atrás –1).
Segundo salto: salta 2 metros (si es hacia delante escribimos 2, si es hacia atrás –2).
Tercer salto: salta 3 metros (si es hacia delante escribimos 3, si es hacia atrás –3).
Cuarto salto: salta 4 metros (si es hacia delante escribimos 4, si es hacia atrás –4).
(Puedo poner ya TRES puntos suspensivos, ¿no Marcos?).
...

Supongamos que pintamos en el suelo unas líneas separadas por un metro de distancia. De perfil se vería así:

Nos interesa comprobar cuáles son los números n de forma que el saltamontes acaba en ellos tras saltar n veces con su particular estilo, con la condición de que empiece en 0 y durante todos los saltos no se salga fuera del segmento comprendido entre 0 y n. Esto último quiere decir que no puede caer ni a la izquierda de 0 ni a la derecha de n.

¡Ejemplos por favor!

Caso n=1
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. ¡Perfecto, para el 1 sí que se puede!

Caso n=2
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. Y ahí se queda, porque su próximo salto tiene que ser de longitud 2, pero ni puede caer más atrás del 0 ni más adelante del 2. ¡Para n=2 no se puede!

Caso n=3 
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. Esta vez sí que puede dar otro salto, pero es hacia atrás, para ir desde el 3 hasta el 0. ¡Para n=3 tampoco se puede! (porque recuerda que el objetivo es acabar en el 3). Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3).

Caso n=4
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. De ahí da otro salto, obligatoriamente hacia atrás, para ir hasta el 0. Y ahora, esta vez sí, con un último salto va desde el 0 hasta el 4, ¡eureka! Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3, 4).

Caso n=5
No se puede. Flip está obligado a repetir los saltos del apartado anterior, llega al 4 y ahí se queda atascado.

Más vale que hayáis pillado el truco porque os toca tomar el relevo: el reto consiste en encontrar los tres próximos números que sí pueden alcanzarse. Al enviar la respuesta escribid indicando la secuencia de saltos, con signo "-" si es hacia atrás. Por ejemplo, en los casos que acabamos de ver sería:

1 = (1)

4 = (1, 2, -3, 4)

XIII Olimpiada Solidaria de Estudio y solución al reto V

Solución al reto V:

Para comprobar que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa, tenemos que encontrar dos de ellas de forma que según las multipliquemos en un orden u otro, obtengamos resultados distintos. Vamos a probar con las dos que venían en el enunciado del reto:

¡Voilà!

Como otras veces, hay una cosa más interesante que el haber sabido hacer unas "simples cuentecitas", y es lo siguiente:

Hemos visto que la multiplicación de matrices no es conmutativa, pero eso no significa que al multiplicar dos matrices siempre obtengamos resultados distintos cuando cambiamos el orden de la multiplicación. Por ejemplo:

Cuando decimos que una operación tiene la propiedad conmutativa es porque se cumple siempre. Cuando decimos que no la tiene es porque no se cumple en todos los casos (pero sí que puede cumplirse en algunos).

XIII Olimpiada Solidaria de Estudio:

Se trata de una iniciativa por la que, si vais a estudiar por las tardes a la biblioteca del instituto, por cada hora que dediquéis, las entidades colaboradoras donarán 1 euro a proyectos de cooperación. Por cierto, ¡os recuerdo que tenemos un examen la semana que viene!

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante, y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco)

HOLACOMOESTAS

le escribiríamos

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (vamos, que se les llama bárbaros con razón), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película reciente, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano.

Reto VII (5 puntos):

He utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado

MABIUSWKWAMABWAZWTIUWA

¿Qué dice el mensaje original?

Pista: He trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual al mayor número primo de los tres en los que se descompone 3553.

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 3553 en sus factores primos os va a costar un par de minutos con la calculadora, pero hacer lo mismo con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡o eso se cree!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto (tenéis hasta el martes 24 de noviembre para enviar vuestras respuestas) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes,

Cero elevado a cero es...

Este reto no era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, en realidad no tanto por su nivel matemático como por el razonamiento lógico que hay detrás. Vamos a ver si consigo explicarme.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. En ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

Os sumo 4 puntos a los que habéis enviado una respuesta incorrecta por haberlo intentado, 5 a los que lo habéis hecho bien, y 7 a quien lo ha explicado mejor que yo, como podéis comprobar aquí.

Solución del examen del Tema 2

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución. Sería una buena idea que antes de mirar la solución volváis a intentar hacer el examen. La semana que viene comentamos cómo ha salido.

Examen

Solución

Unos para toda la eternidad

La mayoría habéis contestado correctamente a la pregunta de si el número formado al escribir 9921479987437581 unos seguidos, es o no múltiplo de tres (ya he actualizado la clasificación). Lo resolveremos en clase, pero ahora vamos a responder a otra pregunta que ha surgido de vuestras mentes inquietas: ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos? Para que las cuentas nos salgan redondas hagamos algunas aproximaciones:

- Manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos. ¡No creo que la mano de Nuria pueda ir más rápido!

- 9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

- para escribir todos esos unos necesitamos 10¹⁶ : 10000 = 10¹² folios (¡sí, un billón!)

- en total nos costará escribirlos 5 x 10¹² minutos

- un año tiene 60 x 24 x 365 = 525600 minutos (redondeando: 500000 minutos)

- es decir, tardaremos en escribir los unos un total de 5 x 10¹² : 500000 = 10⁷ años

Sí, eso son unos 10 millones de años.

Reto relámpago

Reto VI (3 puntos):

- Pensemos en el número formado por 3 unos: 111
- Pensemos en el número formado por 5 unos: 11111
- Pensemos en el número formado por 9921479987437581 unos: 111...111

¿Es el último de ellos divisible por 3? (Naturalmente, hay que justificar la respuesta). Tenéis de tiempo hasta esta medianoche.

La propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la multiplicación (también la tiene la suma) es la que dice que “el orden de los factores no altera el producto”. Por ejemplo: 3×5 = 5×3 = 15.

¡¡¿SEGURO?!! Haced clic aquí para leer una noticia de este pasado fin de semana.

Os cuento lo que a mí me gustaría que tuvieseis claro:

1) Como operación con números da igual escribir 3×5 que 5×3, y puestos a interpretar lo que estamos haciendo, también da igual expresar 3×5 = 3+3+3+3+3 = 5+5+5. La multiplicación de dos números tiene la propiedad conmutativa.

2) Eso sí, en un problema concreto, si a uno le da por desarrollar la multiplicación como una suma, puede resultar más elegante una forma que la otra. Supongamos que nos plantean el siguiente problema: "Juan tiene 3 cajas de chicles y cada una de ellas tiene 5 chicles, ¿cuántos chicles tiene en total?".

Pensamos un poco y respondemos que Juan tiene 5x3 o (da exactamente igual) 3x5 chicles. Pero si queremos explicarlo un poquito más, pensando en el problema, deberíamos escribir:

3x5 = 5+5+5      o (da igual)       5x3 = 5+5+5

¿Por qué? ¿Acaso 3x5 = 3+3+3+3+3 o  5x3 = 3+3+3+3+3 es incorrecto? No, pero lo primero recoge claramente que tenemos 3 cajas, cada una de ellas con 5 chicles, mientras que la suma de los cinco treses no refleja muy bien el problema que estamos resolviendo, no somos capaces de explicar en una frase sencilla lo que esa suma significa.

Nota: Exactamente lo contrario pasaría si el problema fuese, "Juan tiene 5 cajas con 3 chicles cada una...".

Y ya que nos hemos puesto, vamos a desplazarnos unos añitos al futuro de vuestra formación matemática. No todas las operaciones matemáticas tienen la propiedad conmutativa. Veamos un caso:

Una matriz es una caja con números, como por ejemplo estas dos:

y dos matrices se pueden multiplicar siguiendo la regla siguiente (uso el punto en vez del aspa);

Que no os asuste tanta letra que es una tontería:

Reto V (3 puntos): Comprobad que la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Nota: Basta con que encontréis dos matrices (¡no hace falta que busquéis mucho!) de forma que según el orden en el que las multipliquéis dé como resultado matrices distintas. Para responder al reto, cuando os refiráis a una matriz, escribid fila a fila con corchetes y paréntesis. Por ejemplo,

se pueden expresar:

[(1,1), (0,2)] la primera, y la segunda, [(1,0), (3,1)].

Tenéis de tiempo hasta el martes 10 de noviembre.