Mates para saltamontes: La propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la multiplicación (también la tiene la suma) es la que dice que “el orden de los factores no altera el producto”. Por ejemplo: 3×5 = 5×3 = 15.

¡¡¿SEGURO?!! Haced clic aquí para leer una noticia de este pasado fin de semana.

Os cuento lo que a mí me gustaría que tuvieseis claro:

1) Como operación con números da igual escribir 3×5 que 5×3, y puestos a interpretar lo que estamos haciendo, también da igual expresar 3×5 = 3+3+3+3+3 = 5+5+5. La multiplicación de dos números tiene la propiedad conmutativa.

2) Eso sí, en un problema concreto, si a uno le da por desarrollar la multiplicación como una suma, puede resultar más elegante una forma que la otra. Supongamos que nos plantean el siguiente problema: "Juan tiene 3 cajas de chicles y cada una de ellas tiene 5 chicles, ¿cuántos chicles tiene en total?".

Pensamos un poco y respondemos que Juan tiene 5x3 o (da exactamente igual) 3x5 chicles. Pero si queremos explicarlo un poquito más, pensando en el problema, deberíamos escribir:

3x5 = 5+5+5 o (da igual) 5x3 = 5+5+5

¿Por qué? ¿Acaso 3x5 = 3+3+3+3+3 o 5x3 = 3+3+3+3+3 es incorrecto? No, pero lo primero recoge claramente que tenemos 3 cajas, cada una de ellas con 5 chicles, mientras que la suma de los cinco treses no refleja muy bien el problema que estamos resolviendo, no somos capaces de explicar en una frase sencilla lo que esa suma significa.

Nota: Exactamente lo contrario pasaría si el problema fuese, "Juan tiene 5 cajas con 3 chicles cada una...".

Y ya que nos hemos puesto, vamos a desplazarnos unos añitos al futuro de vuestra formación matemática. No todas las operaciones matemáticas tienen la propiedad conmutativa. Veamos un caso:

Una matriz es una caja con números, como por ejemplo estas dos:

y dos matrices se pueden multiplicar siguiendo la regla siguiente (uso el punto en vez del aspa);

Que no os asuste tanta letra que es una tontería:

Reto V (3 puntos): Comprobad que la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Nota: Basta con que encontréis dos matrices (¡no hace falta que busquéis mucho!) de forma que según el orden en el que las multipliquéis dé como resultado matrices distintas. Para responder al reto, cuando os refiráis a una matriz, escribid fila a fila con corchetes y paréntesis. Por ejemplo,