El reto del pequeño saltamontes

No tengo claro si el premio es más una útil calculadora o una pieza de museo, pero sí sé que su futuro es quedarse para siempre en mi trastero o, y me hace ilusión, vivir una nueva vida en un par de vuestras inquietas manos.

Aprovecho para comentaros que este año la utilizaremos muy poco (¡eso ya deberíais tenerlo claro!), pero no estaría mal que os fueseis familiarizando con el uso de una calculadora científica. ¿Cuál? Pues los que no tengáis ninguna y no ganéis el reto, podéis pedir a los Reyes una barata como ésta (os he puesto el enlace de Amazon, pero la podéis comprar por parecido precio en cualquier librería). Sí, las hay mejores (y más caras) pero no merecen para nada la pena.

Las normas del reto son las siguientes:

1) El plazo termina el próximo 31 de diciembre (año nuevo, retos nuevos). Ahora simplemente leedlo por encima (me viene bien porque en clase vamos a empezar a estudiar los números enteros) y dejadlo de lado hasta las vacaciones, ¡que estamos en pleno periodo de exámenes!

2) El ganador será elegido por sorteo entre todos los que acertéis la respuesta (ya hablaremos del procedimiento). Cada uno de los candidatos contará con tantas posibilidades como puntos lleve acumulados en la clasificación el día del sorteo.

Reto VIII (15 puntos): El reto del pequeño saltamontes 

(Cuando vayáis a resolverlo, sentaos, poneos cómodos, coged lápiz y papel y... ¡vigilad que no os salga mucho humo de la cabeza!).

Supongamos que Flip, un pequeño saltamontes, puede saltar hacia delante y hacia atrás, que empieza dando un salto de longitud un metro, y luego, cada vez que salta, lo hace un metro más lejos que en el salto anterior. Es decir: 

Primer salto: salta 1 metro (si es hacia delante escribimos 1, si es hacia atrás –1).
Segundo salto: salta 2 metros (si es hacia delante escribimos 2, si es hacia atrás –2).
Tercer salto: salta 3 metros (si es hacia delante escribimos 3, si es hacia atrás –3).
Cuarto salto: salta 4 metros (si es hacia delante escribimos 4, si es hacia atrás –4).
(Puedo poner ya TRES puntos suspensivos, ¿no Marcos?).
...

Supongamos que pintamos en el suelo unas líneas separadas por un metro de distancia. De perfil se vería así:

Nos interesa comprobar cuáles son los números n de forma que el saltamontes acaba en ellos tras saltar n veces con su particular estilo, con la condición de que empiece en 0 y durante todos los saltos no se salga fuera del segmento comprendido entre 0 y n. Esto último quiere decir que no puede caer ni a la izquierda de 0 ni a la derecha de n.

¡Ejemplos por favor!

Caso n=1
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. ¡Perfecto, para el 1 sí que se puede!

Caso n=2
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. Y ahí se queda, porque su próximo salto tiene que ser de longitud 2, pero ni puede caer más atrás del 0 ni más adelante del 2. ¡Para n=2 no se puede!

Caso n=3 
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. Esta vez sí que puede dar otro salto, pero es hacia atrás, para ir desde el 3 hasta el 0. ¡Para n=3 tampoco se puede! (porque recuerda que el objetivo es acabar en el 3). Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3).

Caso n=4
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. De ahí da otro salto, obligatoriamente hacia atrás, para ir hasta el 0. Y ahora, esta vez sí, con un último salto va desde el 0 hasta el 4, ¡eureka! Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3, 4).

Caso n=5
No se puede. Flip está obligado a repetir los saltos del apartado anterior, llega al 4 y ahí se queda atascado.

Más vale que hayáis pillado el truco porque os toca tomar el relevo: el reto consiste en encontrar los tres próximos números que sí pueden alcanzarse. Al enviar la respuesta escribid indicando la secuencia de saltos, con signo "-" si es hacia atrás. Por ejemplo, en los casos que acabamos de ver sería:

1 = (1)

4 = (1, 2, -3, 4)