Adiós a Mates para saltamontes

Esta es la última entrada que escribo en este "sitio" que recordaré siempre con infinito cariño... Y como se va a quedar aquí hasta la eternidad o hasta que Google desaparezca (lo que antes suceda), me gustaría deciros una cosa: cuando toda la vida que tenéis por delante os proporcione algún momento memorable (lo típico, el triunfo del amor o, lo más de lo más del mundo mundial, uno que va y se saca un Doctorado en Matemáticas)... si tenéis un ratito... me encantará tener noticias vuestras, que podéis hacerme llegar con un comentario aquí mismo en el blog. O si un lejano día simplemente os apetece decirme "hola", también me hará mucha ilusión.

¡Gracias por todo chicos!





Pero...

Otra cosa...

¿Acaso me estoy despidiendo?

No os confundáis mis, por última vez, pequeños saltamontes, no va a ser tan fácil:

¡Próximamente en todas las pantallas!

Nooooooo

Disfrutad lo que queda de verano porque...

Winter is coming!

¡Pero qué exagerados sois, ni que fuera para tanto!

El gran misterio de las matemáticas

Vacaciones saltamontillanas

Mis pequeños saltamontes, disfrutad del verano que os lo habéis ganado y... precisamente... ¿acaso existe mayor disfrute que el que proporcionan las matemáticas?

Os cuento:

- en la web del instituto tenéis actividades recomendadas, como su nombre indica, de refuerzo y de ampliación.

Enlace a las actividades

- una de las tareas que más puede ayudaros en vuestro desarrollo personal es el autoaprendizaje autónomo: intentar aprender algo por vuestra cuenta. Os lanzo un desafío: en el siguiente enlace os cuelgo los apuntes de la Unidad 15 (¡ya os dije que íbamos a dar el temario completo!). ¿Podéis con ello?

Enlace a los apuntes de la Unidad 15

- y un último reto con premio un rotulador negro de pizarra (es el último que usé con vosotros; estará a la mitad). Se lo lleva el primero que responda correctamente a estas dos preguntas:

1) Tengo una moneda legal (eso significa que sale cara la mitad de las veces y cruz la mitad de las veces). La lanzo 6 veces y salen 6 caras seguidas (no es lo más habitual pero puede ocurrir). La voy a lanzar una séptima vez. ¿Qué creéis que es más probable que salga, cara o cruz?

2) Tengo una moneda y no tengo ni idea de si es legal o está trucada. La lanzo 6 veces y salen 6 caras seguidas. La voy a lanzar una séptima vez. ¿Qué creéis que es más probable que salga, cara o cruz?

Ahora en serio, este verano sed todo lo felices que podáis. Cuidaos mucho.

Solución al control de funciones

Pasará el tiempo y de mí sólo recordaréis vagamente que era alto y que se me caía el borrador todos los días... pero estoy seguro de que nunca olvidaréis lo que es una función:

Aquí os cuelgo la solución al control de funciones. Intentad entenderlo: las funciones os están esperando el año que viene... y tienen muchas ganas de daros caña.

Enlace a la solución

Ah, las clases han terminado pero todavía no os habéis librado de mí. Tenemos que acabar el temario: la Unidad 15, próximamente en este blog.

Introducción: La estadística y la probabilidad son una parte muy BONITA de las matemáticas, son muy importantes (!!), tienen muchas APLICACIONES y SIRVEN para muchas cosas... ¡aparte de para parodiar al pobre profesor de matemáticas!

Continuará...

Sólo puede quedar uno

Este martes se va a producir el gran duelo, la batalla decisiva, como dijo Cervantes: "la más alta ocasión que vieron los siglos pasados, los presentes, ni esperan ver los venideros".

Este martes, 1º E capitaneado por Marcos y Daniel se enfrenta a 1º F al mando de Paula y Samuel.

Que la fuerza os acompañe.

Y hablando de victorias, ¡enhorabuena Sandra!

¡Tiembla Dibaba!

Examen Global de la 3ª evaluación

Aquí lo tenéis (avisadme si hay erratas porque lo he escrito a toda pastilla y se me ha podido colar alguna). Como siempre, os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Podéis consultar las notas en Racima. Además del resultado de este examen he incluido información para que sepáis si habéis aprobado la 3ª evaluación (APTO) o la habéis suspendido (NO APTO). En el segundo caso tenéis que intentar recuperarla en el examen de este próximo lunes en el que cada uno os examinaréis de todas las evaluaciones que hayáis suspendido a lo largo del curso.

Los que hayáis aprobado podéis presentaros a intentar subir la nota de la 3ª evaluación (si lo hacéis mal os guardo la nota que tenéis). Sería muy bueno para todos que me hicieseis un último esfuerzo.

¡Feliz Día de La Rioja!

Haciendo tiempo

Como supongo que algunos os estaréis pasando por aquí para ver la solución del examen y me va a costar sacarla (primero quiero corregirlos), os enlazo unos vídeos para que la espera se os haga más entretenida:

Derivando: el genio Ramanujan

Derivando: el problema del sofá

Derivando: el número de Erdös

Las matemáticas son la profesión del futuro

Monólogo: las "nuevas matemáticas"

Solución al control de ángulos y Pitágoras

Dejadme insistir en que es importante que expliquéis lo que vais haciendo al resolver un problema. Porque intentar explicar algo (-no sé si la cita de Einstein es cierta o se trata de una leyenda urbana-) es la mejor forma de entenderlo y saber que de verdad lo has aprendido.

Ya me contaréis qué tal os ha salido:

Enlace a la solución

(P.D.) ¡Dejad a vuestras abuelas tranquilas, no les deis la chapa con Pitágoras!

Otra cosa: mi compañera Pilar ha colgado en Moodle ejercicios resueltos de geometría y las soluciones de nuestro libro de texto.

Évariste Galois

El chico de 15 años del retrato se llamaba Évariste Galois y es el autor de una de las mayores "bestialidades" intelectuales de la Historia de la Humanidad (desgraciadamente, cuando estudiáis historia no os hablan de estas cosas, como debería ser, sino de otro tipo de bestias y bestialidades).

Ya os conté en clase que a los 20 años nuestro héroe se metió en un lío de faldas y perdió la vida en un duelo. Fue el 31 de mayo de 1832, hace hoy justo 184 años. La noche anterior a su muerte, seguramente previéndola, dejó por escrito lo que ahora os voy a intentar explicar. Sé que no es fácil pero si hacéis un esfuerzo todos podéis pillar la idea.

Esto es una ecuación de grado 1:

que espero sepáis resolver por la cuenta que os trae. ¿Si os pongo la misma ecuación con letras en vez de con números os atrevéis? Bah, no es difícil:

Fijaos que acabamos de dar una fórmula que calcula la solución de cualquier ecuación de grado 1 a partir de sus coeficientes (recordad que a a y b se les llama coeficientes).

Esto es una ecuación de grado 2:

que tiene dos soluciones, x=1 y x=2 (comprobadlo).

¿Cómo he hallado las soluciones? Algunas de estas ecuaciones se saben resolver desde la antigüedad (babilonios y egipcios) pero hubo que esperar hasta el siglo X para que apareciese la fórmula que tanta guerra os va a dar el año que viene:

No os asustéis con tanta letra. En realidad cada letra simplemente representa a un número cualquiera. Por ejemplo, para la ecuación:

a vale 1, b vale -3 y c vale 2, y haciendo con cuidado las cuentas (hacedlas) obtenemos las dos soluciones que ya hemos visto,  x=1 y x=2. 

Llegamos al Renacimiento y los matemáticos se ponen a intentar encontrar las fórmulas para ecuaciones de más grados. Los siguientes, claro, grado 3 y grado 4. Ahí van un par de ejemplos de estas ecuaciones:

Y sí, encontraron las fórmulas (menuda panda los matemáticos de entonces).

Enlace a la historia de las ecuaciones de tercer y cuarto grado

Y los matemáticos pensaron entonces que iban a poder encontrar fórmulas para todas las ecuaciones, las de grado 5, 6, 7, 8... y se pusieron a intentarlo... y ninguno lo conseguía... y pasaron unos tres siglos... y un jovencito francés con cierta tendencia a meterse en líos demostró que:

NO EXISTE NINGUNA FÓRMULA PARA 
LAS ECUACIONES DE GRADO 5 o MAYOR.

¿Eso significa que esas ecuaciones no se pueden resolver? No, no significa eso. No hay fórmula pero uno puede "buscarse" la vida e intentar encontrar la solución directamente, o utilizar algún método para calcularla de forma aproximada.

Por cierto, tenemos que ponernos todos a estudiar el Teorema de Pitágoras. Y cuando digo todos, quiero decir TODOS:

Diapositivas de la introducción de la Unidad 12

Enlace a las dispositivas

Examen del Tema 10

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Solución al control de álgebra

Cortesía de mis compañeros Pilar (que lo preparó) y Enrique (que me ha mandado la solución), os enlazo el control de Operaciones y ecuaciones de álgebra. La idea es que volváis a intentar los que os salieron mal para que vosotros mismos detectéis los lugares en los que tendéis a equivocaros.

Enlace a la solución

En estos ejercicios de cuentas sed cuidadosos, concentraos, no tengáis prisa, operad paso a paso, id cogiendo confianza poco a poco... ¡y repasad!

Y ahora que no nos oye nadie os voy a hacer una confesión. El otro día... cuando hice las cuentas para corregir lo que me habíais entregado... ¡me equivoqué en un ejercicio! ¿Cuál es la enseñanza de hoy mis pequeños saltamontes?

Un fallo:

lo puede cometer hasta el mejor:

¡No pasa nada, tenemos a Arconada!

¡Felicidades!

Mis queridos pequeños saltamontes, tenemos tres motivos para las felicitaciones:

1) Hoy es el Día Internacional de los Trabajadores y vosotros lo sois, como, no me cabe ninguna duda, me vais a demostrar este martes cuando me entreguéis esos "poquitos" deberes que os he mandado. ¿Acaso puede existir mayor felicidad que pasar un primero de mayo haciendo ecuaciones y problemas?

2) Tras algunas victorias en bádminton y ping-pong, deportes sin duda muy respetables, también han llegado las victorias en tenis. Recientemente algunos compañeros vuestros obtuvieron buenos resultados en competiciones de filosofía, griego, y "esas cosas de letras". En el pasado Concurso de Primavera de Matemáticas:

¡El año que viene tendréis una buena oportunidad!

3) Como se acerca el final del curso y quiero que os centréis en el último esfuerzo que los demás profesores y yo os vamos a pedir, he decidido poner punto y final a nuestros retos en el blog. El cuadro de honor final queda así:

Muchas gracias chicos, vuestro esfuerzo me ha hecho mucha ilusión y espero que vosotros os lo hayáis pasado bien. Repartiremos los premios al final del curso:

Daniel elegirá el que más le guste y para los otros dos estoy dándole vueltas a organizar alguna competición entre los dos grupos, E y F, y según quién gane, serán Daniel y Marcos o Paula y Samuel quienes se lleven los dos premios restantes. Veamos, a baloncesto ganó el F (Laura y Lucía son murallas infranqueables), a fútbol, aunque tenían al enemigo arbitrando, ganó el E, ¿quién ganará los Juegos Matemáticos y el Campeonato de Paridas? (Como Erik vuelva a contar el chiste de Dora la exploradora descalifico al E).

¡Feliz Día de los Trabajadores!

*********************

Ay, ay, ay, ay, ay... Cuatro, hoy tenemos cuatro motivos para las felicitaciones y... ¡el más importante es el que me he dejado! ¡Este fallo es imperdonable!

No hagáis como yo, que la he visto esta mañana y no le he dicho nada. ¡Felicitad a vuestras madres!

¡Felicidades mamá!

Noticias del día

Nuevo éxito de vuestros compañeros:

Enlace a la noticia

Y ahí está nuestro presentador de vídeos matemáticos favorito:

Enlace a la noticia

La cuadratura del círculo

He estado pensando cómo intentar explicaros este famosísimo problema pero, ni he encontrado una forma sencilla de hacerlo por escrito, ni he localizado ningún vídeo interesante (si os encontráis por la calle con Eduardo pedidle que haga un vídeo de “la cuadratura del círculo”), así que simplemente os voy a contar la historia sin entrar en muchos detalles.

Los matemáticos de la antigua Grecia se inventaron el “juego de la regla y el compás” en el que siguiendo unas determinadas normas, había que construir figuras geométricas, dividir segmentos o ángulos en varias partes iguales, etc.

He hablado con vuestros profesores de plástica y sé que algunas cosas habéis estado haciendo, por ejemplo, creo que sabéis dibujar la mediatriz de un segmento:

Imágenes obtenidas aquí

En realidad lo que hacéis al dibujar la mediatriz de un segmento es jugar a una modalidad del "juego de la regla y el compás" que encantaba a los griegos: construir números. La idea es sencilla: nos dan un segmento de longitud 1 (supongamos decímetro, aunque da igual lo que sea), y tenemos que intentar construir segmentos que midan exactamente el número que nos pidan. Con la mediatriz hemos conseguido construir el número:

Los griegos se pusieron a jugar a este juego y lograron construir un montón de números... hasta que llegaron a nuestro querido p.

El problema es: partiendo de un palito de longitud 1, ¿podemos construir con una regla y un compás (siguiendo ciertas reglas) un palito que tenga longitud  p?

En realidad este problema se puede plantear de otra manera más glamurosa que es la que le da el nombre: dado un círculo de radio 1, ¿podemos construir con regla y compás un cuadrado que tenga su misma área?

¿Podemos conseguir la cuadratura del círculo?

En 1882, más de 2000 años después de que hubiera sido planteado, tras haber resistido a los mejores matemáticos del mundo durante dos milenios, el problema fue derrotado: Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Lindemann para los amigos) se ganó la inmortalidad demostrando que NO, que LA CUADRATURA DEL CÍRCULO ES IMPOSIBLE (y por eso, igual ya lo habéis oído alguna vez, es por lo que se emplea el dicho, "eso es la cuadratura del círculo", para referirse a algo que es imposible de hacer).

Por cierto, id sacando los pañuelos de papel, porque no me cabe ninguna duda de que con lo que ahora mismo os voy a decir vuestros ojos se van a inundar de lágrimas de emoción sincera: ¿sabéis cómo consiguió resolver Lindemann el problema de la cuadratura del círculo? Con ecuaciones. Y ahora viene lo mejor, ¿sabéis qué tipo de ecuaciones? ¡Ecuaciones con polinomios!

Así que ya sabéis, ¡al ataque! ¡a por los polinomios!

Examen del Tema 9

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

La tecla Ran# de la calculadora

Decimos que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se conoce como probabilidad).

¿Un ejemplo? Tenemos que sortear el libro del Reto del equipo de fútbol:

1) No sabemos exactamente quién se lo va a llevar.

2) Sabemos que ganará Paula, Samuel o Daniel.

3) Paula tiene 88 puntos, Samuel 99 y Daniel 103 (la suma total es 290). Entonces las probabilidades de ganar de cada uno son:

Probabilidad(gane Paula)= 88/290 = 0'3034 (Paula tiene aproximadamente un 30% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Samuel)= 99/290 = 0'3414 (Samuel tiene aproximadamente un 34% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Daniel) = 103/290 = 0'3552 (Daniel tiene aproximadamente un 36% de posibilidades de ganar).

(Fijaos que las tres probabilidades suman 1 o, lo que es lo mismo, que los tres porcentajes suman el 100%).

Esta vez no vamos a utilizar papelitos sino que vamos a aprovechar la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Hay mejores formas de hacer el sorteo pero la más sencilla de entender es:

- si sale un número entre el 0'000 y el 0'087 (ambos incluidos; fijaos que son 88 números), ganará Paula,

- si sale un número entre el 0'088 y el 0'186 (ambos incluidos; fijaos que son 99 números), ganará Samuel,

- si sale un número entre el 0'187 y el 0'289 (ambos incluidos; fijaos que son 103 números), ganará Daniel,

- si sale un número entre 0'290 y 0'999 le pediremos a la calculadora otro número (así hasta que alguien gane).

Luego, entre los dos perdedores sortearemos de igual manera el juego de ajedrez.

Un detalle importante: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos tirando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!

Examen de Recuperación de la 2ª evaluación

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Descubrir la ciencia

Enlace en elpais.com

Solución al Reto del equipo de fútbol

Los ganadores han sido Paula, Daniel y Samuel. La semana que viene sortearemos entre los tres los dos premios. Lo haremos en clase porque quiero aprovechar para explicaros a todos la función Ran# de la calculadora.

Como Marcos ha estado peleando como un valiente hasta el final (¡hasta enfermo lo ha seguido intentando!), quiero darle a él y a los demás la oportunidad de, ¡por orgullo!, llegar a la solución antes de ver cuál es.

Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador):

SITUACIÓN 1

SITUACIÓN 2

¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?

Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con gracia, haced clic en el siguiente enlace:

Solución

Cifras decimales de PI (tercera y última parte)

En la siguiente tabla podéis ver (en amarillo) la respuesta al reto anterior ("yo" he seguido sumando hasta los 30000 números; por cierto, la que os puse en el reto se llama suma de Nilakantha).

 El valor real es p = 3’1415926535897932384...

Vemos que hay una clara diferencia entre las dos sumas. Cierto que las dos se van acercando más al valor de p cuantos más números sumamos, pero:

- al sumar 5 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 2'8952 y 3'3397; con la de Nilakantha, que está entre 3'1397 y 3'1452,

- al sumar 13 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'0584 y 3'2184; con la de Nilakantha, que está entre 3'1415 y 3'1417,

- al sumar 5000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'1414 y 3'1418, es decir, tenemos 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha ya tenemos 3’1415926535, 10 cifras exactas de p,

- al sumar 30000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'14156 y 3'14163, es decir, seguimos teniendo sólo 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha llegamos hasta 3’141592653589, 12 cifras exactas de p.

Y ahí precisamente están las dos claves que marcaron (y siguen marcando) la carrera por conseguir cifras decimales de p:

1) Hay que intentar utilizar sumas que se acerquen lo más rápido posible al verdadero valor de  p. Por ejemplo, nosotros acabamos de ver que la suma de Nilakantha es "mucho más rápida" que la suma de Leibniz.

2) Me ha costado unos dos minutos escribir en mi ordenador las fórmulas de las sumas de Leibniz y de Nilakantha, y mi ordenador habrá tardado, ¿una décima de segundo en hacer las cuentas? Seguramente mucho menos.

Vamos a ver algunos momentos importantes en la "Carrera de  p":

- la mente más destacada en la historia de la Humanidad, Isaac Newton, dijo: "La naturaleza se reduce a un número: p. Quien descubra el misterio de p, comprenderá el pensamiento de Dios", y tal vez por eso pasó unas cuantas tardes haciendo cuentas para calcular 15 decimales exactos... para lamentarse a continuación por haber perdido el tiempo haciendo cuentecitas inútiles.

- el aficionado a las matemáticas William Shanks dedicó casi 20 años de su vida a hacer cuentas para calcular 707 cifras decimales exactas de p... o eso creía: 70 años después, en 1944, usando una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas hasta la 527.

- una figura especial en el cálculo de las cifras de p fue el portento indio Srinivasa Ramanujan, que descubrió sumas de números que se acercaban muy rápido (mucho más que la de Nilakantha) al valor de p. Os dejo una de sus genialidades (a ver si sois capaces de hacer bien la cuenta -con calculadora, claro-):

- con la llegada de los ordenadores la carrera quedó en manos de los informáticos. El récord actual está en algo más de 13 billones de cifras. Escritas seguidas en el tamaño que estáis leyendo darían más de 60 vueltas a la Tierra.

Enlace a la lista de récords de cifras de p

Dos cositas para terminar:

- sí, es una gran pérdida de tiempo y de electricidad tener un ordenador potente encendido 208 días para hacer algo que no sirve para nada (así se batió el último récord). Afortunadamente los ordenadores se emplean casi siempre para cosas mucho más importantes. Os enlazo un vídeo que merece la pena:

El superordenador Mare Nostum

- p también inspira a los "poetas":

Soy y seré a todos definible

mi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p. 

Reto XVIII: Reto III de p (5 puntos): Como en el ejemplo anterior, tenéis que escribir un poema o un cuento con palabras cuyo número de letras vayan siendo las cifras de p. Ha de estar dedicado a Tom y Jerry y, por supuesto, ha de tener sentido, no vale ir poniendo palabras al tuntún.  El que más lejos llegue se llevará 5 puntos. Tenéis de tiempo hasta el lunes 11 de abril.

Supongo que con 16000 cifras os valdrá

y también supongo que los conocéis:

Cifras decimales de PI (segunda parte)

¿Cuántas cifras decimales tiene p? Aunque se intuía desde el principio, hubo que esperar al siglo XVIII para demostrar que p es un número irracional. Tiene pues infinitos decimales, no se repiten de forma periódica y, en este caso, no siguen ningún patrón: si queremos conocerlos no nos queda otra que calcularlos.

¿Sirve para algo calcular muchos decimales de p? Absolutamente para nada. A cualquier ingeniero o científico que trabaje en el mundo real le vale con saber unos pocos. (Hay una cuentecita que tenemos a tiro -no la quiero hacer ahora- para ver que con 39 decimales podríamos calcular el tamaño de todo el Universo conocido con una precisión de un átomo de hidrógeno).

¿Para qué se calculan entonces? Como os dije cuando hablamos de raiz de 2, se trata de una especie de competición deportiva, al principio entre matemáticos, a la que en los últimos años se han unido informáticos con sus superordenadores. No todo es tan inútil como parece: algunas herramientas estudiadas para calcular las cifras decimales de p han tenido importantes aplicaciones prácticas.

¿Cómo se calculan los decimales de p? Como vimos en la anterior entrada, la primera técnica empleada fue la de aproximar el área de la circunferencia con polígonos regulares tal y como había hecho Arquímedes.

En el siglo XVII se produjo en el mundo un gran desarrollo matemático (que permitió a su vez el progreso científico y económico de la época). Una de las cosas que más se estudiaron entonces fueron las sumas infinitas (¿os acordáis?). Os refresco la memoria: son sumas de números de manera que cuantos más sumamos más nos vamos acercando a un valor (a la suma). Los dos ejemplitos que ya conocemos son:

Pues p apareció (a veces por sorpresa) como resultado de muchas de esas sumas infinitas, por ejemplo la suma de Leibniz:

¿Cómo podemos aprovechar la anterior suma infinita para conseguir cifras decimales de p? Muy sencillo: cuantos más números sumemos más nos acercaremos a su verdadero valor.

y ya todo es cuestión de tener mucha paciencia... y mucho tiempo libre, porque haría falta sumar no cinco, sino cinco millones de números de la suma de Leibniz para conseguir seis cifras decimales exactas (3'141592) de p.

Reto XVII: Reto II de p (5 puntos): Utiliza la siguiente suma infinita (¡puedes utilizar la calculadora!):

para conseguir cinco aproximaciones de p (empieza sólo con el 3 y ve sumando un término más cada vez como acabamos de hacer arriba) y compara los resultados obtenidos con los proporcionados por la suma de Leibniz. ¿Cuál es la conclusión de la comparación? Tenéis de tiempo hasta el domingo 3 de marzo.

Cifras decimales de PI (primera parte)

¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:

(bip), (bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...

Cuando agotéis ese tema de conversación (con 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:

que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,

y seguramente, en ese mismo momento él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p.

Nota: Esta introducción un poco marciana es porque hace poco leí una entrevista de un científico que ha participado en proyectos que intentan comunicarnos con otras civilizaciones (el asunto es serio, ¡no tiene nada que ver con quinto milenio!).

Enlace a la entrevista

p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:

Reto XVI: Reto I de p (1 punto): Cuando esta tercera evaluación veamos en clase el teorema de Pitágoras, calcularemos que el  área del anterior cuadrado inscrito vale 2. ¿Sabrías calcular el área del cuadrado circunscrito y utilizar ambos resultados para decir entre qué dos valores está p? Tenéis de tiempo hasta el domingo 3 de marzo.

Naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:

Pentágono, hexágono y octógono.

Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:

que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.

Terminamos en modo preguntas y respuestas:

¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.

¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente lo intentaría con 192 lados pero se moriría antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más y más pesadas.

¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados, ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p) y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:

 3'14159265358979323846264338327950288

¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!

¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.

Números imaginarios

Como Paula, Daniel y Marcos habéis respondido, la ecuación

no tiene ninguna solución, porque cuando elevamos un número al cuadrado, siempre obtenemos un número positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad y así se tiraron unos cuantos siglos, diciendo que había muchas ecuaciones (la de arriba y otras del estilo) que no tenían solución. Pero entonces hubo algunos que se plantearon, "vale, no tiene soluciones si sólo utilizamos los números que conocemos, ¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería solución de la ecuación:

es decir, i cumple que:

A este nuevo número que se inventaron le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (¿os acordáis de él?) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces pasa en matemáticas, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (os lo contarán en el futuro: dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

Y esta es más o menos la biografía del quinto de nuestros dioses de los números. 0, 1 y p ya los conocéis. Al número e os lo presentarán en 4º curso. i os llegará en el bachillerato de ciencias.

Estas vacaciones voy a contaros alguna historia del que es mi preferido, mi JuPIter. El plan es hacerlo en tres entradas (¡sí, caerá algún pequeño reto en el camino!):

1) Cifras decimales de p (primera parte).

2) Cifras decimales de p (segunda parte).

3) La cuadratura del círculo.

¡Que seáis muy felices estas vacaciones! (en la realidad y en vuestra imaginación... porque espero que nos haya quedado claro a todos que la imaginación también forma parte de la realidad).

Ah, recordad que tenemos un reto en marcha:

Enlace al Reto del equipo de fútbol

(P.D.) Casualmente me acaba de llegar este tuit (a los números imaginarios también se les dice números complejos):

Premios para compañeros vuestros

No sé cuántas mates os vamos a enseñar en este instituto, pero vais a salir de él hechos unos verdaderos filósofos:

El Olimpo de los números

Ya sabéis que los ingleses son gente un poco rara que conduce por la izquierda, mide la distancia en millas y la altura en pies, y en las fechas, dice primero el mes y luego el día. Y ya si los juntamos con sus primos los yanquis, a los que les gusta más celebrar cosas que a algunos de vosotros salir a la pizarra, tenemos que el 14 de marzo, el 14-3 para nosotros y el 3-14 para ellos, es "oficialmente" el Día de p = 3,14159265...

Pero, ¿quién demonios es p para merecer semejante atención? Pues como os voy a intentar contar en una serie de entradas estas vacaciones, p es uno de los dioses de los números, acompañado en el Olimpo por e, i, 0 y 1, aunque la mejor forma de escribirlos juntos sea con la famosa identidad de Euler:

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia.

p ¿Cómo apareció en las matemáticas el que va a ser nuestro protagonista? Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 1, su área es 1. Si tenemos una circunferencia de radio 1... su área es p.

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios... aunque todavía no le podéis pillar la gracia...

i ¿Os acordáis?

Bueno, pues os pregunto ahora algo parecido y cuando mandéis las soluciones os cuento quién es el número i.

Reto XV: Reto de la ecuación de segundo grado (2 puntos): Encuentra los números que cumplen que:

Tenéis de tiempo hasta que llegue la primavera (vamos, hasta el 3-21, digo hasta el 21-3... el lunes).