Aclaración al reto del pequeño saltamontes

RETO DEL PEQUEÑO SALTAMONTES

Alguno ya me habéis enviado una solución... incorrecta. Aunque considero que leer y entender el problema es parte importante del reto, voy a intentar explicarlo otra vez (espero que mejor). Hay que tener en cuenta que:

1) Los saltos de Filp son, cada vez que salta, un metro más largos que la vez anterior: el primer salto es de 1 metro, el segundo de 2, el tercero de 3, etc.

2) Puede saltar a la derecha (delante) o a la izquierda (detrás), SIEMPRE QUE TENGA SITIO SUFICIENTE, ya que no puede saltar ni a la izquierda del 0 ni a la derecha del número que estemos intentando alcanzar.

3) Con las dos reglas anteriores hay algunos números X a los que, TRAS DAR PRECISAMENTE X SALTOS, Flip acaba llegando en el ÚLTIMO SALTO. Por ejemplo:

- Llega a 1 tras 1 salto.
- No puede llegar a 2 en 2 saltos.
- No puede llegar a 3 en 3 saltos.
- Sí llega a 4 en 4 saltos.
- No puede llegar a 5 en 5 saltos.

El reto consiste en que vayáis respondiendo vosotros a las preguntas:

- ¿Puede llegar a 6 en 6 saltos?
- ¿Puede llegar a 7 en 7 saltos?
- ¿Puede llegar a 8 en 8 saltos?
...

hasta que encontréis los siguientes tres números a los que sí se puede llegar (como pista os digo que esos tres números son menores que 20).

La dificultad del reto es ir con paciencia y cuidado recorriendo las distintas posibilidades que van apareciendo. Os voy a hacer el caso n=20 (el dibujo lo pintáis vosotros):

- El primer salto es de longitud 1 hacia delante.
- El segundo salto es de longitud 2 hacia delante.
- Para el tercer salto (de longitud 3) tiene dos posibilidades, delante o atrás. En ese caso habría que seguir los dos caminos y ver si alguno nos sirve. Ya os digo que es hacia delante.
- En el cuarto salto, otra vez vuelve a tener la posibilidad de saltar hacia delante o atrás. Ahora lo que funciona es saltar 4 metros hacia atrás.
- Etc.

La solución la dan los saltos:

(1, 2, 3, -4, 5, 6, -7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20)

El 20 sí que puede alcanzarse. 

Eso es lo que tenéis que hacer, ir probando con 6, 7, 8... hasta que encontréis tres de ellos a los que se llega. ¡Con paciencia, que es una escasa virtud en los tiempos en los que vivimos! ¡Proponedlo como juego a toda la familia en la comida de Navidad!

Petición a la Consejería

VERGONZOSOS ASEOS DEL INSTITUTO

¡Feliz Navidad!

Espero que paséis unos días muy bonitos, que disfrutéis con vuestros seres queridos, que descanséis, que juguéis con los amigos y -¡lo siento, tengo que decirlo!- que hagáis los problemas de "la ficha" y estudiéis para el examen de recuperación. Y también, los que queráis, que participéis en el reto del pequeño saltamontes (el plazo para enviar la solución termina el 31 de diciembre). Aquí os dejo el enlace:

RETO DEL PEQUEÑO SALTAMONTES

En cuanto al último reto, Daniel, Marcos y Samuel han conseguido emular a Gauss razonando:

Y si una cosa les encanta a los matemáticos es generalizar. ¿Qué más da sumar los primeros 1000 números naturales, o los primeros 130, o...? ¿No hacemos lo mismo en todos los casos? ¿No es el procedimiento lo verdaderamente importante? ¿No podemos deducir una fórmula para la suma de los primeros n números naturales, valga lo que valga n? Sí, podemos.

Y así, si por ejemplo nos preguntan cuánto vale la suma de los primeros 700 números naturales, respondemos inmediatamente, "700 por 701 dividido por 2".

Otra cosa para los del F: el diccionario que tenéis en clase es una birria:

Lo dicho:

¡¡FELIZ NAVIDAD!!

Carl Friedrich Gauss

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y al medio minuto le dijo al profesor, “Ya lo tengo, da 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser uno de los más grandes matemáticos de la historia. Y ese día, en su cuaderno (o en su libreta, suponiendo que hiciera como Isis) el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto X (2 puntos): Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 130 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo martes 22 de diciembre.

Escultor Daniel

Logroño ha concedido la Medalla de Oro de la ciudad al escultor Daniel González Ruiz, una de las principales figuras de la escultura internacional de principios del siglo XX.

Enlace a la noticia

Reto de El País

La probabilidad es un campo de las matemáticas que en el futuro os hará echar bastante humo por la cabeza. ¿Y ahora mismo?

Desafío matemático navideño de El País

Os voy a poner dos problemas más sencillos a modo de pista (eso suponiendo que yo haya entendido bien el desafío anterior; al primero que responda correctamente estos problemas/pista le doy tres puntos extra en la clasificación de nuestros retos):

Pista 1: En una caja hay nueve papelitos en cada uno de los cuales está escrito uno de los siguientes números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar un papelito en el que esté escrito un número par?

Pista 2: Una persona va paseando por la calle con su perro y ve a dos personas que se acercan a lo lejos. Supongamos estas cuatro situaciones:

- Se fija en una de las personas y ve que es una chica. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra persona también sea chica?

- Se fija en una de las personas y ve que es su amiga Manolita. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra persona también sea chica?

- Se fija en las dos personas y le dice a su perro: "Anda, por allí viene una chica acompañada de otra persona". ¿Cuál es la probabilidad de que la otra persona también sea chica?

- Se fija en las dos personas y le dice a su perro: "Anda, pero si por allí viene Manolita". ¿Cuál es la probabilidad de que la otra persona también sea chica?

Examen Global de la 1ª evaluación

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución.

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, volváis a hacerlo sin nervios ni presión del reloj (¡ni dolores de tripa! Es broma: ¡espero que estés mejor!), y luego reviséis la solución. Naturalmente, cualquier cosa que no tengáis clara podéis (debéis) consultármela en clase.

Como Carmen se ha dado cuenta esta mañana, el examen tiene una puntuación total de 11 puntos (ejercicio extra aparte). No es que se hayan adelantado los Reyes Magos, es que me he colado. Lo corregiré calculando primero la nota según las puntuaciones indicadas en el examen, pero multiplicándola luego por 10 y dividiéndola por 11.

El lunes comentaremos cómo ha salido (el examen y esta primera evaluación). Ya sé que me repito mucho pero os lo vuelvo a decir, ahora por escrito:

- Sí, es muy importante que aprendáis matemáticas, por su utilidad en sí mismas y porque es una actividad que ayuda al proceso de desarrollar al máximo las capacidades de vuestro cerebro.

- A algunos la nota os alegrará y a otros no. Los primeros disfrutadlo, los segundos... ¡sin dramas, que no se ha muerto nadie! Y todos, esforzaos al máximo para seguir aprendiendo y mejorar un poquito la próxima evaluación.

La conjetura de Golbach

Un día me preguntasteis en clase por problemas de matemáticas, de esos de los que te dan un millón de dólares si los resuelves. Ahí van los siete más famosos en la actualidad: los problemas del Milenio (ya sólo nos quedan 6; el que resolvió el otro es Grigori Perelmán, un ruso un poco “rarito” que pasó del dinero).

Si me pidieseis que os explicase alguno de esos problemas... os diría que de cuatro de ellos no entiendo ni el enunciado (son de campos muy específicos de las matemáticas), dos sé de qué van, y uno, y tal vez me anime, podría intentar recreároslo a vosotros.

Aparte de esos siete hay más problemas famosos y muchos de ellos pertenecen a la Teoría de Números, que es seguramente el campo más atractivo de las matemáticas. Parte de ese atractivo reside en el hecho de que algunos de sus problemas son fácilmente entendibles por cualquier persona con conocimientos matemáticos básicos, y sin embargo son dificilísimos de resolver. El más famoso es la Conjetura de Golbach, que lleva ya varios siglos resistiendo a los mejores matemáticos del mundo, y que reza así:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Vamos a ver de qué va esto:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸.

Y de toda esta historia, aquí viene lo que más me interesa que pilléis, la moraleja: si consiguiésemos encontrar un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo.

Y eso es lo que siguen intentando los mejores matemáticos del mundo. Uno de ellos es Terence Tao, un chico con una biografía impresionante.

La foto es antigua, ¡ya es casi cuarentón!

Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con uno de nuestros retos?

Reto IX (3 puntos): La conjetura de Golbach 

Encontrad todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30.

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

(Tenéis de tiempo hasta el próximo jueves 17 de diciembre).

El euro perdido

(La historia es inventada).

Esta mañana de Black Friday, Erik nos ha dicho a Idoia y a mí que se quería comprar un libro que costaba 7 euros. Como nos ha prometido estudiar mucho a cambio, le hemos prestado 5 euros cada uno. Ha ido a la librería, ha comprado el libro y le han devuelto 3 monedas de euro.”Tomad 1 euro cada uno –nos ha dicho a Idoia y a mí- y yo me quedo el otro. Os dejo a deber 4 euros a cada uno”.

Todo correcto... pero vamos a hacer cuentas: Idoia y yo le hemos prestado a Erik 5 euros cada uno (es decir, un total de 10 euros), y nos ha devuelto 1 euro a cada uno, luego:

4 euros que me debe a mí + 4 euros que le debe a Idoia + 1 euro que se ha quedado él = 

=¡¡9 euros!!

¿Se puede saber dónde está el euro que falta? A ver si alguno nos sabe explicar a los demás dónde está el engaño del trilero.

Codificador/descodificador de mensajes

Si descomponemos 3553 (con ayuda de una calculadora: hay que probar a dividir por 2, 3, 5, 7... A ver si alguno me decís en los comentarios cuál es el último número con el que habría que haberlo intentado), enseguida llegamos a que:

3553=11x17x19

Nota: de que era divisible por 11 podríamos habernos dado cuenta con el criterio que hemos estudiado en clase.

De esta manera el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 19 lugares a la derecha, es decir:

y ya sólo nos queda hacer la descodificación, una tarea pesada de esas en las que los ordenadores son los mejores amigos del hombre:

En el siguiente enlace tenéis un programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona en línea). Creo que no debería dar problemas por estar hecho con una versión antigua de Excel. Ya me diréis.

Codificador/descodificador de César

Solución del examen del Tema 3

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución.

Lo que sigue lo voy a poner siempre como "instrucciones de uso": es una buena idea que descarguéis el examen, volváis a hacerlo sin nervios ni presión del reloj, y luego reviséis la solución. Naturalmente, cualquier cosa que no tengáis clara podéis (debéis) consultármela en clase.

Examen

Solución

El reto del pequeño saltamontes

No tengo claro si el premio es más una útil calculadora o una pieza de museo, pero sí sé que su futuro es quedarse para siempre en mi trastero o, y me hace ilusión, vivir una nueva vida en un par de vuestras inquietas manos.

Aprovecho para comentaros que este año la utilizaremos muy poco (¡eso ya deberíais tenerlo claro!), pero no estaría mal que os fueseis familiarizando con el uso de una calculadora científica. ¿Cuál? Pues los que no tengáis ninguna y no ganéis el reto, podéis pedir a los Reyes una barata como ésta (os he puesto el enlace de Amazon, pero la podéis comprar por parecido precio en cualquier librería). Sí, las hay mejores (y más caras) pero no merecen para nada la pena.

Las normas del reto son las siguientes:

1) El plazo termina el próximo 31 de diciembre (año nuevo, retos nuevos). Ahora simplemente leedlo por encima (me viene bien porque en clase vamos a empezar a estudiar los números enteros) y dejadlo de lado hasta las vacaciones, ¡que estamos en pleno periodo de exámenes!

2) El ganador será elegido por sorteo entre todos los que acertéis la respuesta (ya hablaremos del procedimiento). Cada uno de los candidatos contará con tantas posibilidades como puntos lleve acumulados en la clasificación el día del sorteo.

Reto VIII (15 puntos): El reto del pequeño saltamontes 

(Cuando vayáis a resolverlo, sentaos, poneos cómodos, coged lápiz y papel y... ¡vigilad que no os salga mucho humo de la cabeza!).

Supongamos que Flip, un pequeño saltamontes, puede saltar hacia delante y hacia atrás, que empieza dando un salto de longitud un metro, y luego, cada vez que salta, lo hace un metro más lejos que en el salto anterior. Es decir: 

Primer salto: salta 1 metro (si es hacia delante escribimos 1, si es hacia atrás –1).
Segundo salto: salta 2 metros (si es hacia delante escribimos 2, si es hacia atrás –2).
Tercer salto: salta 3 metros (si es hacia delante escribimos 3, si es hacia atrás –3).
Cuarto salto: salta 4 metros (si es hacia delante escribimos 4, si es hacia atrás –4).
(Puedo poner ya TRES puntos suspensivos, ¿no Marcos?).
...

Supongamos que pintamos en el suelo unas líneas separadas por un metro de distancia. De perfil se vería así:

Nos interesa comprobar cuáles son los números n de forma que el saltamontes acaba en ellos tras saltar n veces con su particular estilo, con la condición de que empiece en 0 y durante todos los saltos no se salga fuera del segmento comprendido entre 0 y n. Esto último quiere decir que no puede caer ni a la izquierda de 0 ni a la derecha de n.

¡Ejemplos por favor!

Caso n=1
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. ¡Perfecto, para el 1 sí que se puede!

Caso n=2
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. Y ahí se queda, porque su próximo salto tiene que ser de longitud 2, pero ni puede caer más atrás del 0 ni más adelante del 2. ¡Para n=2 no se puede!

Caso n=3 
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. Esta vez sí que puede dar otro salto, pero es hacia atrás, para ir desde el 3 hasta el 0. ¡Para n=3 tampoco se puede! (porque recuerda que el objetivo es acabar en el 3). Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3).

Caso n=4
Con su primer salto (de 1 metro de longitud hacia delante) llega al 1. El segundo salto tiene que ser obligatoriamente hacia delante (porque no puede caer a la izquierda del 0), y así llega al 3. De ahí da otro salto, obligatoriamente hacia atrás, para ir hasta el 0. Y ahora, esta vez sí, con un último salto va desde el 0 hasta el 4, ¡eureka! Podemos describir los saltos como: (1, 2, -3, 4).

Caso n=5
No se puede. Flip está obligado a repetir los saltos del apartado anterior, llega al 4 y ahí se queda atascado.

Más vale que hayáis pillado el truco porque os toca tomar el relevo: el reto consiste en encontrar los tres próximos números que sí pueden alcanzarse. Al enviar la respuesta escribid indicando la secuencia de saltos, con signo "-" si es hacia atrás. Por ejemplo, en los casos que acabamos de ver sería:

1 = (1)

4 = (1, 2, -3, 4)

XIII Olimpiada Solidaria de Estudio y solución al reto V

Solución al reto V:

Para comprobar que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa, tenemos que encontrar dos de ellas de forma que según las multipliquemos en un orden u otro, obtengamos resultados distintos. Vamos a probar con las dos que venían en el enunciado del reto:

¡Voilà!

Como otras veces, hay una cosa más interesante que el haber sabido hacer unas "simples cuentecitas", y es lo siguiente:

Hemos visto que la multiplicación de matrices no es conmutativa, pero eso no significa que al multiplicar dos matrices siempre obtengamos resultados distintos cuando cambiamos el orden de la multiplicación. Por ejemplo:

Cuando decimos que una operación tiene la propiedad conmutativa es porque se cumple siempre. Cuando decimos que no la tiene es porque no se cumple en todos los casos (pero sí que puede cumplirse en algunos).

XIII Olimpiada Solidaria de Estudio:

Se trata de una iniciativa por la que, si vais a estudiar por las tardes a la biblioteca del instituto, por cada hora que dediquéis, las entidades colaboradoras donarán 1 euro a proyectos de cooperación. Por cierto, ¡os recuerdo que tenemos un examen la semana que viene!

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante, y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco)

HOLACOMOESTAS

le escribiríamos

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (vamos, que se les llama bárbaros con razón), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película reciente, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano.

Reto VII (5 puntos):

He utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado

MABIUSWKWAMABWAZWTIUWA

¿Qué dice el mensaje original?

Pista: He trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual al mayor número primo de los tres en los que se descompone 3553.

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 3553 en sus factores primos os va a costar un par de minutos con la calculadora, pero hacer lo mismo con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡o eso se cree!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto (tenéis hasta el martes 24 de noviembre para enviar vuestras respuestas) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes,

Cero elevado a cero es...

Este reto no era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, en realidad no tanto por su nivel matemático como por el razonamiento lógico que hay detrás. Vamos a ver si consigo explicarme.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. En ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

Os sumo 4 puntos a los que habéis enviado una respuesta incorrecta por haberlo intentado, 5 a los que lo habéis hecho bien, y 7 a quien lo ha explicado mejor que yo, como podéis comprobar aquí.

Solución del examen del Tema 2

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución. Sería una buena idea que antes de mirar la solución volváis a intentar hacer el examen. La semana que viene comentamos cómo ha salido.

Examen

Solución

Unos para toda la eternidad

La mayoría habéis contestado correctamente a la pregunta de si el número formado al escribir 9921479987437581 unos seguidos, es o no múltiplo de tres (ya he actualizado la clasificación). Lo resolveremos en clase, pero ahora vamos a responder a otra pregunta que ha surgido de vuestras mentes inquietas: ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos? Para que las cuentas nos salgan redondas hagamos algunas aproximaciones:

- Manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos. ¡No creo que la mano de Nuria pueda ir más rápido!

- 9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

- para escribir todos esos unos necesitamos 10¹⁶ : 10000 = 10¹² folios (¡sí, un billón!)

- en total nos costará escribirlos 5 x 10¹² minutos

- un año tiene 60 x 24 x 365 = 525600 minutos (redondeando: 500000 minutos)

- es decir, tardaremos en escribir los unos un total de 5 x 10¹² : 500000 = 10⁷ años

Sí, eso son unos 10 millones de años.

Reto relámpago

Reto VI (3 puntos):

- Pensemos en el número formado por 3 unos: 111
- Pensemos en el número formado por 5 unos: 11111
- Pensemos en el número formado por 9921479987437581 unos: 111...111

¿Es el último de ellos divisible por 3? (Naturalmente, hay que justificar la respuesta). Tenéis de tiempo hasta esta medianoche.

La propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la multiplicación (también la tiene la suma) es la que dice que “el orden de los factores no altera el producto”. Por ejemplo: 3×5 = 5×3 = 15.

¡¡¿SEGURO?!! Haced clic aquí para leer una noticia de este pasado fin de semana.

Os cuento lo que a mí me gustaría que tuvieseis claro:

1) Como operación con números da igual escribir 3×5 que 5×3, y puestos a interpretar lo que estamos haciendo, también da igual expresar 3×5 = 3+3+3+3+3 = 5+5+5. La multiplicación de dos números tiene la propiedad conmutativa.

2) Eso sí, en un problema concreto, si a uno le da por desarrollar la multiplicación como una suma, puede resultar más elegante una forma que la otra. Supongamos que nos plantean el siguiente problema: "Juan tiene 3 cajas de chicles y cada una de ellas tiene 5 chicles, ¿cuántos chicles tiene en total?".

Pensamos un poco y respondemos que Juan tiene 5x3 o (da exactamente igual) 3x5 chicles. Pero si queremos explicarlo un poquito más, pensando en el problema, deberíamos escribir:

3x5 = 5+5+5      o (da igual)       5x3 = 5+5+5

¿Por qué? ¿Acaso 3x5 = 3+3+3+3+3 o  5x3 = 3+3+3+3+3 es incorrecto? No, pero lo primero recoge claramente que tenemos 3 cajas, cada una de ellas con 5 chicles, mientras que la suma de los cinco treses no refleja muy bien el problema que estamos resolviendo, no somos capaces de explicar en una frase sencilla lo que esa suma significa.

Nota: Exactamente lo contrario pasaría si el problema fuese, "Juan tiene 5 cajas con 3 chicles cada una...".

Y ya que nos hemos puesto, vamos a desplazarnos unos añitos al futuro de vuestra formación matemática. No todas las operaciones matemáticas tienen la propiedad conmutativa. Veamos un caso:

Una matriz es una caja con números, como por ejemplo estas dos:

y dos matrices se pueden multiplicar siguiendo la regla siguiente (uso el punto en vez del aspa);

Que no os asuste tanta letra que es una tontería:

Reto V (3 puntos): Comprobad que la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Nota: Basta con que encontréis dos matrices (¡no hace falta que busquéis mucho!) de forma que según el orden en el que las multipliquéis dé como resultado matrices distintas. Para responder al reto, cuando os refiráis a una matriz, escribid fila a fila con corchetes y paréntesis. Por ejemplo,

se pueden expresar:

[(1,1), (0,2)] la primera, y la segunda, [(1,0), (3,1)].

Tenéis de tiempo hasta el martes 10 de noviembre.

De egipcios y romanos

La mayoría habéis resuelto correctamente el reto de los números y, aparte de alguna errata, el único fallo repetido ha sido utilizar el sistema egipcio como posicional. ¿Qué quiero decir?

En nuestro sistema de numeración la posición de los símbolos es importante. Por ejemplo, en 77 el 7 de la derecha significa 7, y el de la izquierda 70: aunque sean el mismo símbolo cuentan distinto. No pasa eso con la numeración egipcia: no importa dónde se coloque un símbolo, éste sólo cuenta la cantidad que representa. Si queremos representar una cantidad tenemos que acumular símbolos "a lo bruto" hasta sumar esa cantidad.

19765979 en números romanos es:

y en egipcios (como yo no dibujo tan bien como vosotros lo he hecho con el ordenador):

Los que sí son unos verdaderos artistas son Marcos y Lucía.

Por cierto, hay alguien que quiere deciros una cosa:

¿Qué hacéis que no estáis estudiando las potencias? ¡No me hagáis enfadar!

Vuestra primera demostración "profesional"

El trabajo de los matemáticos consiste en resolver problemas, más o menos como vosotros hacéis en clase, ¡igualito!

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Porque no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

RETO V (5 puntos). En realidad el 13 no pinta nada. Lo he cogido porque es mi número preferido pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0? Tenéis hasta el 6 de noviembre para responder.

Solución del examen del Tema 1

Os cuelgo aquí (haciendo clic en el enlace) la solución del examen que hicimos el jueves. Como decía un excelente profesor que tuve en Física, si hay algún error o falta de ortografía es... porque lo he puesto adrede a ver si os dais cuenta.

Solución del examen del Tema 1

Os cuelgo también el examen sin solución por si queréis volver a intentarlo:

Examen del Tema 1

¿Quién fue el primer matemático de la historia?

En la imagen estáis viendo el hueso de Lebombo, un fémur de baduino que, según la hipótesis más aceptada, alguna “mujer de las cavernas” utilizó hace más de 40000 años para hacer unas marcas, veintinueve, y medir su ciclo menstrual. Es la primera prueba que se ha encontrado de la presencia de los números en la Historia de la Humanidad.

A lo largo de los milenios el ser humano fue empleando otros sistemas de numeración. Vamos a ver algunos y, en honor a la “primera matemática de la historia”, representaremos con ellos la duración del ciclo menstrual:

Sistema de numeración cavernícola: una marca por cada día:

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Sistema egipcio: como el anterior, pero con la sutileza de agrupar las potencias de diez.

¡Para los egipcios un millón venía a ser como infinito!

Así, nuestro número quedaría:

aunque la posición de los símbolos es irrelevante y también podría escribirse, entre muchas otras opciones:

Sistema romano: un sistema en el que algunas letras indican cantidad,

pero donde la posición sí que importa:

Y escribiríamos:

 XXIX 

Nota: como indican en la imagen anterior, cuando los romanos querían escribir números muy grandes, ponían líneas sobre las letras: una indica multiplicado por mil, dos por un millón... seguro que os estáis preguntando cómo escribían un billón y un trillón (en realidad los romanos no necesitaban para nada números tan grandes... e infinito ni se lo imaginaban). ¡Ejemplos por favor!

Cada línea son tres ceros adicionales.

Sistema decimal: originario de la India y traído a Europa por los árabes. Es el que utilizamos en la actualidad y que, como hemos visto en clase, se basa en la descomposición polinómica en potencias de 10... vamos, lo que viene a ser:

29 = 2.10+9

RETO III (5 puntos): Vamos a convencernos de que hemos tenido mucha suerte al haber nacido en una época en la que se utiliza un sistema de numeración muy “cómodo”, y que los profesores y estudiantes de matemáticas del pasado lo tenían mucho más difícil que nosotros. ¿Sabríais escribir el número 19765979 utilizando los sistemas egipcio y romano? (por supuesto, es muy fácil con el sistema cavernícola... pero ese mejor lo dejamos).

Nota: tenéis de plazo hasta el próximo martes 27 de octubre para responder. Dibujad/escribid las dos respuestas en un papel y me lo entregáis en clase. ¡Daré un punto extra al número egipcio más "artístico"!